常用的相似性度量-各种距离总结

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?????? 看不出两个公式是等价的？提示一下：试试用放缩法和夹逼法则来证明。

(3)Matlab计算切比雪夫距离

例子：计算向量(0,2)两两间的切比雪夫距离

X= [0 0 ; 1 0 ; 0 2]

D= pdist(X,'chebychev')

结果：

D=

???? 1????2???? 2

?

4. 闵可夫斯基距离(MinkowskiDistance)

闵氏距离不是一种距离，而是一组距离的定义。

(1)闵氏距离的定义

?????? 两个n维变量a(x11,x2n)间的闵可夫斯基距离定义为：

?

其中p是一个变参数。

当p=1时，就是曼哈顿距离

当p=2时，就是欧氏距离

当p→∞时，就是切比雪夫距离

?????? 根据变参数的不同，闵氏距离可以表示一类的距离。

(2)闵氏距离的缺点

　　闵氏距离，包括曼哈顿距离、欧氏距离和切比雪夫距离都存在明显的缺点。

　　举个例子：二维样本(身高,体重)，其中身高范围是150~190，体重范围是50~60，有三个样本：a(180,50)，b(190,50)，c(180,60)。那么a与b之间的闵氏距离（无论是曼哈顿距离、欧氏距离或切比雪夫距离）等于a与c之间的闵氏距离，但是身高的10cm真的等价于体重的10kg么？因此用闵氏距离来衡量这些样本间的相似度很有问题。

?????? 简单说来，闵氏距离的缺点主要有两个：(1)将各个分量的量纲(scale)，也就是“单位”当作相同的看待了。(2)没有考虑各个分量的分布（期望，方差等)可能是不同的。

(3)Matlab计算闵氏距离

例子：计算向量(0,2)两两间的闵氏距离（以变参数为2的欧氏距离为例）

X= [0 0 ; 1 0 ; 0 2]

D= pdist(X,'minkowski',2)

结果：

D=

??? 1.0000???2.0000??? 2.2361

5. 标准化欧氏距离(Standardized Euclidean distance )

(1)标准欧氏距离的定义

　　标准化欧氏距离是针对简单欧氏距离的缺点而作的一种改进方案。标准欧氏距离的思路：既然数据各维分量的分布不一样，好吧！那我先将各个分量都“标准化”到均值、方差相等吧。均值和方差标准化到多少呢？这里先复习点统计学知识吧，假设样本集X的均值(mean)为m，标准差(standarddeviation)为s，那么X的“标准化变量”表示为：

　　而且标准化变量的数学期望为0，方差为1。因此样本集的标准化过程(standardization)用公式描述就是：

　　标准化后的值 =? ( 标准化前的值? － 分量的均值 ) /分量的标准差

　　经过简单的推导就可以得到两个n维向量a(x11,x2n)间的标准化欧氏距离的公式：

　　如果将方差的倒数看成是一个权重，这个公式可以看成是一种加权欧氏距离(WeightedEuclidean distance)。

(2)Matlab计算标准化欧氏距离

例子：计算向量(0,2)两两间的标准化欧氏距离 (假设两个分量的标准差分别为0.5和1)

X= [0 0 ; 1 0 ; 0 2]

D= pdist(X,'seuclidean',[0.5,1])

结果：

D=

??? 2.0000???2.0000??? 2.8284

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6. 马氏距离(MahalanobisDistance)

（1）马氏距离定义

?????? 有M个样本向量X1~Xm，协方差矩阵记为S，均值记为向量μ，则其中样本向量X到u的马氏距离表示为：

（编辑：威海站长网）

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