Hahn-Banach定理及其应用

可以说泛函分析中Banach空间中的三个最重要的定理就是Banach-Steinhaus定理、开映照定理以及Hahn-Banach定理. 本文先证明Hahn-Banach定理，然后介绍其在函数空间表示上的应用，这个应用可以推导出Possion核的表达式，但是Possion核及其表达式在本文中不多介绍.

(Hahn-Banach) 设 M 是线性赋范空间的子空间， f 是 M 上的有界线性泛函，则 f 可以开拓为定义在 X 上的有界线性泛函 F ，且 ||f||=||F|| .

Proof 先设 X 为实线性赋范空间； f 为实值有界线性泛函. 若 M=X ，则结论是平凡的；若 ||f||=0 ，则 f\equiv 0 对任意 x\in M 成立，则令 f=0(x\in X) 即可. 因此下设 M 为 X 的非平凡子空间； ||f||=1 . 因此存在 x_0\notin M ，令

M'=span (M,x_0)

不难看出 M' 仍为 X 中的子空间，如果我们需要定义在 M 上的有界线性泛函 t ，那么只需令 t(x+kx_0)=t(x)+k\xi ，其中， x\in M,\xi 为待定的值. 不难看出，我们需要确定 \xi ，使得 ||t||=1 ，这意味着只需要令 |t(x+kx_0)|\le ||x+kx_0|| 即可. 而由于 M 为子空间，我们可以令 -kx'=x ， x'\in M ，此时

|kt(x')-k\xi|\le |k|\cdot ||x'-x_0||

这意味着 |t(x')-\xi|\le ||x'-x_0|| 要对任意的 x' 成立. 这等价于不等式:

\left||t(x')|-||x'-x_0|| \right|\le |\xi|\le \left||t(x')|+||x'-x_0|| \right|

事实上，这要求 t(y)-||y-x_0||\le t(x)+||x-x_0|| 对于任意 x,y\in M 成立. 但是考虑到 |t(x)-t(y)|\le ||x-y||\le||x-x_0||+||y-x_0|| ，这个是自然成立地，于是存在 \xi ，使得 ||t||=1 在 x\in M 上成立.

现在我们构造这样的一个集类 \mathcal{P} ，使得它是所有有序对 (M',f') 的集合，其中， M' 是子空间， f' 为定义在 M' 的有界线性泛函，且 ||f'||=1 . 我们定义偏序 (\mathcal{P},\le) ，即 (M',f')\le (M'',f'') 的充要条件是 M'\subset M'',f''|_{M'}=f' . 由Hausdorff最大原理，存在一个最大的全序集 \Omega\subset \mathcal{P} .

我们设 \Omega 中的有序对中的集合全体为 \Phi ，则不难看出， \Phi 为全序集，其中定义序为集合包含. 做 M^*=\bigcup_{M\in \Phi}M ，定义 F(x) 的值为 F(x)=f'(x),where,x\in M',(M',f')\in \Omega .我们不难看出 F 为线性泛函，且 ||F||=1 ， M^* 仍为子空间. 我们只需证明 M^*=X . 事实上，若不然， 我们仍然可以做到 M^{*^{'}} ，并定义泛函 t' ，但这与 \Omega 的最大性矛盾.

当 X 为复值线性赋范空间， f 为复线性泛函时，令 Re(f)=u ，不难看出 u 为实线性泛函，且 f(x)=u(x)-iu(ix) ，读者不难自证. 且反之，若 f 可以写成以上形式，则 f 为复线性泛函. 我们只需做 Re(f)=u 在 X 上的泛函开拓 U(x) ，并定义

F(x):=U(x)-iU(ix)

我们只需证明 ||F||=1 即可，即证明 ||F||=||U|| ，事实上，我们不难证明 ||F||\ge ||U|| ，证明反向不等式时，考虑到 F(x)=c|F(x)| ，其中， c\in \mathbb{C} 以及 |c|=1 ，于是

F(x/c)=U(x/c)-iU(xi/c)=|F(x)|\in \mathbb{R}

这意味着 F(x)=cU(x/c) 对任意 x 成立，即 ||F||\le ||U|| ，这就证明了

||F||=||U||=||u||=||f||=1

于是整个Hahn-Hanach定理全部证完. \square

作为应用，我们证明下面一个结论，这个结论可以作为Possion核的引理.

设 K 为 CH(compact ~ Hausdorff) 空间， H 为 K 中的紧集， A\subset C(K) 为子空间，且其中的泛函满足条件 \mathcal{1}\in A 以及若 f\in A, 则 ||f||_H=||f||_T . 其中

||f||_E=\sup_{x\in E}|f(x)|

则存在 regular 正测度 \mu 定义在 X 上的泛函 x\to \mu_x ，使得

f(x)=\int_Hfd\mu_x\quad (f\in A)

由Rieze表示定理，

我们只需要构造一个定义在 C(H) 上的正线性泛函；这就需要我们做以下几件事情:

(i) 我们要构造 C(H) 上的泛函；

(ii) 我们要证明 C(H) 上的泛函的正定性.

我们围绕这两个步骤展开：

对于第一步，我们记 M 为 A 中的所有泛函在 H 上限制的集合. 我们不难发现，若 f=0 在 x\in H 上成立，那么自然有 f=0 对 x\in K 上成立. 这就告诉我们，若 f_1=f_2(x\in H) ，那么必有 f_1=f_2(x\in K) ，这就意味着 M 和 A 是保范同构. 因此我们说 A 或者是 M 实际上是等价的. 下面我们开始逐步整理这两个步骤：

Lemma 1 我们可以构造 C(H) 上的泛函 F_x ，使得 ||F_x||=1定理应用，且当 f\in M 时， F_x(f)=f(x) .

Proof 我们设泛函 t:f\to f(x) ，其中， x\in K . 我们不难发现，

|f(x)|\le ||f||_H

这意味着 ||t||\le1 ，但是同时， \mathcal{1}\in A ，即 \mathcal{1}\in M ，这保证了 ||t||\ge1 ，因此 ||t||=1 . 而不难看出 C(H) 是线性赋范空间，于是由Hahn-Banach定理，存在 C(H) 上的泛函 F_x ，使得 ||F_x||=1 ，且当 f\in M 时， F_x(f)=f(x) . \square

Lemma 2 上述泛函F_x 是正定的.

Proof 由上述引理， F_x 满足以下性质：(i) F_x(\mathcal{1})=1 ，(ii) ||F_x||=1 . 我们下面证明其正定性. 不妨设 0\le f\le 1 ， f\in C(H) ，设 g=2f-1 ，则 -1\le g\le 1 ，设 F_x(g)=a+bi . 我们发现，对任意的 r\in \mathbb{R} ， h(x)=irx\in C(H) ，这意味着 g+h\in C(H) ，于是

|F_x(g+h)|\le ||g+h||=||g+ir||\le 1+r^2

同时，|F_x(g+h)|=|a+(b+r)i|\ge (b+r)^2

这意味着 b^2+2br\le 1 对任意的 r\in \mathbb{R} 成立，这使得 b\equiv 0 ，而 ||g||\le 1 ，即 |a|\le 1 ，于是 F_x(f)=(F_x(g)+1)/2=(1+a)/2\ge 0 ，这就证明了其正定性. \square

有了这两个引理，我们不难发现已经完成了Rieze定理的条件，于是由Rieze表示定理，命题得证. \square

（编辑：威海站长网）

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