韦达定理、对称式、几何中的应用

代数基本定理的推论：方程

a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0=0

恰好有 n 个解（重根按重数计算）。

韦达定理描述了高次多项式方程的根的性质：方程

a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+a_1x+a_0=0

的根满足

\begin{array}{l}x_1+x_2+\cdots+x_n=-\dfrac{a_{n-1}}{a_n},\\x_1x_2+x_1x_3+\cdots+x_{n-1}x_n=\dfrac{a_{n-2}}{a_n},\\\cdots\\x_1x_2\cdots x_n=(-1)^n\cdot\dfrac{a_0}{a_n}.\end{array}

证明是初等的，只需利用一元多项式的因式分解。

这个结论看起来没什么用吧？几个等式左边的部分有什么讨论的价值呢？

考虑一个 n 元多项式，我们称它是一个对称多项式，如果将各变量符号重新排列，得到的多项式总是不变。例如上面几个等式左边的部分都是对称多项式，将它们记为 \sigma_1,\sigma_2,\cdots,\sigma_n.

定理 一个多项式是对称多项式的充要条件是可以只用 \sigma_1,\sigma_2,\cdots,\sigma_n 表示。

证明我就不写了，不过读者可以用直觉考虑一下这个结论：如果一个多项式里出现了 \sigma_i 中的一项，那么必然会出现 \sigma_i 中的其它项。事实上还可以证明上述表示是唯一的。

举个例子：

\begin{align}&x_1^3+x_2^3+x_3^3\\=\ &(x_1+x_2+x_3)^3-3(x_1+x_2+x_3)\\&(x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3)+3x_1x_2x_3\\=\ &\sigma_1^3-3\sigma_1\sigma_2+3\sigma_3.\end{align}

这种表示的意义在哪？不是做出高等代数的考试题，一个最直接的意义就是计算多项式的值。

如果我直接给你有关对称多项式的定理，而不是先给出韦达定理定理应用，你就可能看不出来。求多项式方程的根是一个困难的问题，而我们经常遇到的一类问题是求一个对称多项式当各变量是一个已知的多项式方程的根时的值，这时用韦达定理远远比求出多项式方程的根简单。

举个例子：

求 x_1^3+x_2^3+x_3^3 的值，其中 x_1,x_2,x_3 是方程 x^3-3x^2+6x+6=0 的解。

该方程很难被解出，但是应用韦达定理， \sigma_1=3,\ \sigma_2=6,\ \sigma_3=-6, 于是

x_1^3+x_2^3+x_3^3=3^3-3\cdot3\cdot6+3(-6)=-45.

以上所说的对称多项式的理论，完全可以用在类似的对称有理式，即对于分式的情况也可以类似地处理。这样的应用我们太熟悉了，在圆锥曲线的问题里常常出现。

比如在2018年北京卷第19题，最终要证明

\frac1{k-1}\left(\frac{x_1-1}{x_1}+\frac{x_2-1}{x_2}\right)

是定值，其中 x_1,x_2 是方程

k^2x^2+2(k-2)x+1=0

的解。显然上面的式子是对称的，可以被化成只含有 x_1+x_2,x_1x_2 的形式，化成

\frac{2x_1x_2-(x_1+x_2)}{(k-1)x_1x_2},

再利用韦达定理，

x_1+x_2=-\frac{2(k-2)}{k^2},\ x_1x_2=\frac1{k^2}

于是可以计算得到结论。

这样就为“圆锥曲线问题频繁运用韦达定理”找出了深层次的道理。

（编辑：威海站长网）

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