同态定理

我们来系统地研究群中的同态与同构，我们前面介绍过自同构，并且高代中也有类似的定义，理解起来应该不难。

下面是一些同态与同构的例子。

我们的重点在于它们的性质：

这两个性质与自同构类似，也很容易直观理解，同态是保幺保逆的。

这两个性质有一定的对偶性定理应用，我们从高代的学习中知道，核kerf能表示线性映射的单射程度，当核只有一个单位元时，f变为单射;像Imf能表示线性映射的满射程度,当像变为值域时，f变为满射。群里是同样的道理。

同态会把群映射成群，当它不是满射的时候，自然就是子群，前一个性质就出来了；相对应的，核是不是子群呢？不仅是，而且是正规子群！

但Imf不一定正规，对偶性似乎并不明显。不要着急，我们叙述完最后两个性质后，就来进一步说明。

同构是等价的，但同态会是吗？想一想，为什么存在映射不是一个等价关系。

这个性质非常直观，从我们对商集的认识来看，也很容易理解。商集中的运算是从原群中继承过来的，运算有相似之处一点也不奇怪，而同态，恰好就是描述运算的相似的。

注意到，kerf为正规子群，那它不是也能导出一个同构吗？

这个的意义是重大的，任何一个同态都能导出一个同构，然后把对该同态和同态像的研究，转化到对商群的研究。

因为G到Imf的同态是满（映上）的。

任何一个同态都可以变成自然同态+同构+嵌入，同构可以看成一样的，嵌入可以看成多了些无关紧要的元素。于是同态就变成了主要研究自然同态。

含核子群一一映射为像中子群，含核正规子群一一映射为含核正规子群，且有同构关系。

下面一个命题说明我们可以把群上的同态转化为商群的同态：

下面两个定理作为同态基本定理的应用，构造好同态就可以证明：

第一个是说，在考虑商群的商群时，可以做形式上的约分，第二个如果把KH看成多项式，把交看成它们的最大公因式，这个形式顿时就熟悉了。但是为了形式的合理性，K必须是正规子群，来保证KH与K交H分别为子群和正规子群。

这个定理再次揭示了内自同构的本质和重要性。

最后一个例题，不难纯粹是定义的罗列。

写在最后的话：

1也可以用线性方程组来形式地理解这些定理。

1为什么同态能导出同构？考虑Ax=b，x，b为向量（自然就是加法阿贝尔群中的元素），A可以看成一个矩阵，也可以看成一个同态。对任意一个b，Ax=0的解加上某个b对应的解仍然是Ax=b的解。对不同的b，它的解族构成了一个等价类。我们从每个等价类里选取一个元素对应上b，就把它变为了同构（假设它是满的了）。而这个过程其实类似于分类，只不过，我们把这个类用代表元表示了出来。这就是商群的含义。

1.2为什么会有子群的对应关系？G1到G2如果有满同态，K为核，H1与H2分别为它们的子群。KH1仍然是G1的子群，映射过去的像仍然是H2。我们要建立一一映射，就要选取等价类。但这里直接找类不好说，但代表元是清楚的，就是包含等价类的子群.正规子群也是同理。这个过程逆过来看会更清楚，就是每个元素乘上K再并一起。

2.其实还有第三同构定理等，但那些主要是为了可解群做准备，因此打算另列专题来讲。

（编辑：威海站长网）

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